가우스 법칙

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 적분 형태
- 2.2. 미분 형태
3. 역사
4. 쿨롱 법칙과의 관계
- 4.1. 가우스 법칙에서 쿨롱 법칙 유도
- 4.2. 쿨롱 법칙에서 가우스 법칙 유도
5. 선형 물질에서의 가우스 법칙
6. 적용 예시
참조

1. 개요

가우스 법칙은 전기장과 전하 분포 사이의 관계를 설명하는 물리 법칙이다. 이 법칙은 발산 정리를 통해 적분 형태와 미분 형태로 표현되며, 두 형태는 서로 동등하다. 가우스 법칙은 폐곡면을 통과하는 전기 선속이 폐곡면 내의 총 전하량에 비례한다는 것을 나타낸다. 쿨롱 법칙과 동등하며, 쿨롱 법칙과 전하의 중첩 원리를 이용하여 가우스 법칙을 유도할 수 있다. 가우스 법칙은 다양한 전하 분포에 대한 전기장을 계산하는 데 사용되며, 특히 대칭성을 이용하면 계산을 간단하게 할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

맥스웰 방정식 - 전자기 유도
전자기 유도는 자기장 변화가 도체에 기전력을 유도하는 현상으로, 패러데이의 유도 법칙과 렌츠의 법칙으로 설명되며, 발전기, 변압기 등에 응용되고 로렌츠 힘, 와전류, 전자기파와 관련된다.
맥스웰 방정식 - 로런츠 힘
로렌츠 힘은 전기장과 자기장 내에서 움직이는 하전 입자에 작용하는 힘으로, 전기력과 자기력의 합으로 표현되며, 전동기, 발전기, 입자 가속기 등 다양한 장치 작동 원리를 설명하고 맥스웰 방정식과 함께 전자기 현상을 기술하는 데 사용된다.
카를 프리드리히 가우스 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
카를 프리드리히 가우스 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.
사람 이름을 딴 낱말 - 뒤베르제의 법칙
뒤베르제의 법칙은 선거제도와 정당 수 사이의 관계를 설명하는 가설로, 단순 다수 대표제는 양당제를, 결선투표제와 비례대표제는 다당제를 낳는다는 내용을 제시한다.
사람 이름을 딴 낱말 - 옴의 법칙
옴의 법칙은 1827년 게오르크 옴이 발표한, 전압(V)은 전류(I)와 저항(R)의 곱(V=IR)으로 표현되는, 전압, 전류, 저항 간의 관계를 나타내는 기본 법칙이다.

가우스 법칙
개요
이름	가우스 법칙
로마자 표기	Gaus' beopchik
원어	Gauss' law (영어) / ガウスの法則 (일본어)
설명	전기장과 전하 분포 사이의 관계를 나타내는 전자기학의 기본 법칙이다.
공식 및 수학적 표현
적분 형태	∮_S E ⋅ dA = Q_enc/ε₀
미분 형태	∇ ⋅ E = ρ/ε₀
여기서	E: 전기장 dA: 폐곡면 S의 미소 면적 벡터 Q_enc: 폐곡면 S 내에 있는 총 전하량 ε₀: 진공 유전율 ∇ ⋅ E: 전기장의 발산 ρ: 전하 밀도
관련 법칙 및 개념
관련 법칙	쿨롱 법칙 맥스웰 방정식
관련 개념	전기 선속 발산 정리
응용
응용 분야	전기장 계산 전하 분포 분석 축전기 설계 전자기학 문제 해결
기타
주의 사항	가우스 법칙은 폐곡면에 대한 적분으로 정의되며, 대칭성이 있는 경우에 유용하게 사용된다.

2. 정의

가우스 법칙은 미분 형태와 적분 형태로 나타낼 수 있으며, 두 형태는 발산 정리에 의해 동등하다.

가우스 법칙은 전기장 또는 전기 변위장을 사용하여 나타낼 수 있다.

자유 전하만을 포함하는 가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.^[1]

: $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\mathrm{free}$

여기서 $\nabla \cdot \mathbf{D}$ 는 변위장의 발산이며, $\rho_\mathrm{free}$ 는 자유 전하 밀도이다.

분극 전하를 포함한 모든 전하에 대한 가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.

: $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0$ .

여기서 $\rho$ 는 전하 밀도 (분극 전하 포함)이고, $\mathbf{E}$ 는 전기장, $\epsilon_0$ 는 진공의 유전율이다.

적분 형태에서 가우스 법칙은 임의의 폐곡면에서 나오는 전기장의 플럭스가 그 곡면으로 둘러싸인 전하량에 비례하며, 전하의 분포와는 상관없다. 대칭성으로 인해 전기장이 균일한 경우에는 적분 형태만으로 전기장을 결정할 수 있지만, 그렇지 않은 경우에는 미분 형태를 사용해야 한다.

이 법칙은 1773년 조제프 루이 라그랑주가 처음 공식화했고,^[1] 1835년 카를 프리드리히 가우스가 타원체의 인력의 맥락에서 공식화했다.^[2]^[3] 이 법칙은 맥스웰 방정식 중 하나이며, 고전 전자기학의 기초를 이룬다.^[4] 가우스 법칙을 이용하여 쿨롱의 법칙을 유도할 수 있으며, 그 반대도 가능하다.^[5]

가우스 법칙은 임의의 가상적인 폐곡면(가우스 곡면)을 통과하는 전기선속의 총량이 그 폐곡면 내부에 둘러싸인 전하량의 총합을 배 한 것과 같다는 내용을 담고 있다.^[6]

가우스 법칙은 가우스 자기 법칙, 가우스 중력 법칙과 수학적으로 매우 유사하며, 모든 역제곱 법칙은 가우스 법칙과 유사한 방식으로 공식화될 수 있다. 예를 들어 가우스 법칙은 쿨롱의 법칙과, 가우스 중력 법칙은 뉴턴의 만유인력의 법칙과 본질적으로 동등하다.

가우스 법칙은 벡터 미적분을 사용하여 적분 형태와 미분 형태로 표현할 수 있으며, 발산 정리(가우스 정리)에 의해 두 형태는 동등하다. 각 형태는 전기장과 전하량의 총합, 또는 전기 변위장과 자유 전하 사이의 관계로 표현될 수 있다.^[7]

2. 1. 적분 형태

가우스 법칙의 적분 형태는 임의의 폐곡면을 통과하는 전기 변위장(전속밀도)의 선속이 그 폐곡면 내부의 총 자유 전하량에 비례한다는 것을 나타낸다.

:

\oint_S \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \int_V \rho \, \mathrm{d}V  = Q

여기서,

'D'	전속밀도
ρ	전하밀도
Q	적분 영역 V 내부에 있는 전하의 총합
d'S'	면적소벡터
V	부피

이 식은 어떤 영역 내에 전하가 존재하면 그 영역에서 전하와 같은 크기의 전속이라는 물리량이 출입한다는 것을 보여준다.

자유 전하에 대한 가우스 법칙은 다음과 같이 표현된다.^[7]

: $\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

여기서 Φ_''E''는 임의의 부피 V를 포함하는 폐곡면 S를 통과하는 전기선속, Q는 V 내에 둘러싸인 총 전하량, 그리고 ε₀는 진공 유전율이다. 전기선속 Φ_''E''는 전기장의 곡면 적분으로 정의된다.

: $\Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}$

여기서 '''E'''는 전기장, d'''A'''는 곡면의 미소 면적 요소를 나타내는 벡터, 그리고 ·는 두 벡터의 내적을 나타낸다.

총 전하 형태의 가우스 법칙은 다음과 같다.

: $\Phi_D = Q_\mathrm{free}$

여기서 Φ_''D''는 부피 V를 둘러싸는 면 S를 통과하는 전기 변위장(D-장) 플럭스이고, Q_free는 V에 포함된 자유 전하이다. 플럭스 Φ_''D''는 면 S를 통과하는 전기장 '''E'''의 플럭스 Φ_''E''와 유사하게 정의된다.

: $\Phi_D = \oint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}$

문제에 어떤 대칭성이 있어 전기장이 균일한 방식으로 곡면을 통과해야 하는 경우가 있다. 그러면 총 선속이 알려져 있을 때, 모든 지점에서 전기장 자체를 유도할 수 있다. 가우스 법칙에 적용되는 대칭성의 일반적인 예로는 원통 대칭, 평면 대칭, 구면 대칭이 있다.

2. 2. 미분 형태

발산 정리에 의해, 가우스 법칙은 다음과 같은 미분 형태로 나타낼 수 있다.

:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

여기서

\nabla \cdot \mathbf{E}

는 전기장의 발산,

\varepsilon_0

는 진공 유전율,

\rho

는 전체 부피 전하 밀도(단위 부피당 전하량)이다.

자유 전하만을 포함하는 가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\mathrm{free}

여기서

\nabla \cdot \mathbf{D}

는 변위장의 발산이며,

\rho_\mathrm{free}

는 자유 전하 밀도이다.^[1]

폐곡면 S에서 가우스 법칙(

\oint_S \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = Q

)에서 체적 V의 미소 변화에 의한 전속(가우스 법칙, 면적분)의 변화율을 div '''D'''로 나타낸다.

:

\mathrm{div} \boldsymbol{D} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_{\Delta S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}

여기서 ΔS는 ΔV의 표면이다.

또한

:

\mathrm{div} \boldsymbol{D} = \rho

ρ

전하밀도

가 된다.

여기서 기호 「div」는 다이버전스(divergence)라고 읽으며, 발산을 나타낸다.

직각좌표에서 divD는,

: $\mathrm{div} \boldsymbol{D} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V}\oint_{\Delta S} \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} =\left(\frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z}\right)$

가 된다.

제임스 클러크 맥스웰에 의해 정비된 미분형이라고 불리는 가우스 법칙은 다음과 같은 형태로 표현된다.

: $\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho$

여기서,

D

전속밀도

이다. ∇(델 연산자)는 미분 연산자이다.

3. 역사

가우스 법칙은 1773년 조제프 루이 라그랑주가 처음으로 공식화했고,^[1] 1835년 카를 프리드리히 가우스가 타원체의 인력과 관련하여 독립적으로 재발견하였다.^[2]^[3] 가우스는 이 법칙을 1835년에 발견했지만, 1867년에야 발표했다.^[12] 이 법칙은 맥스웰 방정식 중 하나이며, 고전 전자기학의 기초를 이룬다.^[4] 가우스 법칙을 이용하여 쿨롱의 법칙을 유도할 수 있으며, 그 반대도 가능하다.^[5]

4. 쿨롱 법칙과의 관계

조제프 루이 라그랑주가 1773년에 처음으로 공식화했고,^[1] 그 뒤 카를 프리드리히 가우스가 1835년에 타원체의 인력의 맥락에서 공식화했다.^[2]^[3] 이 법칙은 맥스웰 방정식 중 하나이며, 고전 전자기학의 기초를 이룬다.^[4] 가우스 법칙을 이용하여 쿨롱의 법칙을 유도할 수 있으며, 그 반대도 마찬가지이다.^[5]

일반적으로 적분형이라고 불리는 가우스 법칙은 다음과 같은 형태로 표현된다.

: $\oint_S \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \int_V \rho \, \mathrm{d}V = Q$

여기서,

변수	설명
'D'	전속밀도
ρ	전하밀도
Q	적분 영역 V 내부에 있는 전하의 총합
d'S'	면적소벡터
V	부피

이 식은 어떤 영역 내에 전하가 존재하면 그 영역에서 전하와 같은 크기의 전속이라는 물리량이 출입한다는 것을 보여준다.

가우스 법칙은 쿨롱 법칙과 동등하며, 서로 유도될 수 있다. 쿨롱 법칙은 정지된 점전하 사이의 힘을 설명하는 반면, 가우스 법칙은 임의의 전하 분포에 대해 적용될 수 있다는 점에서 더 일반적이다.

4. 1. 가우스 법칙에서 쿨롱 법칙 유도

엄밀히 말하면, 가우스 법칙만으로는 쿨롱 법칙을 유도할 수 없다. 가우스 법칙은 전기장의 회전에 대한 정보를 제공하지 않기 때문이다(헬름홀츠 분해 및 패러데이 법칙 참조). 그러나 점전하에서 나오는 전기장이 구면 대칭이라는 가정을 추가하면(이 가정은 쿨롱의 법칙 자체와 마찬가지로 전하가 정지해 있을 때는 정확하게 성립하고, 전하가 움직일 때는 근사적으로 성립한다) 가우스 법칙으로부터 쿨롱의 법칙을 증명할 수 있다.

가우스 법칙의 적분 형태에서 적분 면을 점전하 Q를 중심으로 하는 반지름 r의 구면으로 하면 다음과 같다.

:

\oint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

구면 대칭 가정에 의해 피적분 함수는 상수이므로 적분 밖으로 꺼낼 수 있다. 결과는 다음과 같다.

:

4\pi r^2\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{\varepsilon_0}

여기서 r̂은 전하로부터 방사형으로 바깥쪽을 향하는 단위 벡터이다. 다시 구면 대칭에 의해 E는 방사 방향으로 향하므로 다음을 얻는다.

:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}

이는 쿨롱의 법칙과 본질적으로 동등하다. 따라서 쿨롱의 법칙에서 전기장의 역제곱 법칙 의존성은 가우스 법칙에서 유도된다.

4. 2. 쿨롱 법칙에서 가우스 법칙 유도

쿨롱 법칙은 정지한 점전하에 의한 전기장이 다음과 같다고 설명한다.

:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\mathbf{e}_r}{r^2}

여기서

$\mathbf{e}_r$ 는 방향 단위 벡터이고,
$r$ 은 반지름,
$\varepsilon_0$ 는 진공 유전율이고,
$q$ 는 원점에 위치한 입자의 전하량이다.

이 식을 사용하여 공간의 다른 모든 점

\mathbf{s}

에 있는 미소 전하에 의한

\mathbf{r}

에서의 총 전기장을 적분으로 나타내면 다음과 같다.

:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{s})(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} \, \mathrm{d}^3 \mathbf{s}

여기서

\rho

는 전하 밀도이다. 이 식의 양변에 대해

\mathbf{r}

에 관한 발산을 취하고 다음의 정리를^[10] 사용하면,

:

\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}

5. 선형 물질에서의 가우스 법칙

균질하고, 등방성이며, 비분산성인 선형 물질에서는 전기장('''E''')과 전기 변위장('''D''') 사이에 간단한 관계가 있다.:'''D''' = ε'''E'''여기서 ε는 물질의 유전율이다. 진공(또는 자유 공간)의 경우, ε = ε₀이다. 이러한 상황에서 가우스 법칙은 다음과 같이 수정된다.:Φ_E = Q_free / ε(적분 형태):∇ ⋅ '''E''' = ρ_free / ε(미분 형태)일반적으로 적분형이라고 불리는 가우스 법칙은 다음과 같은 형태로 표현된다.:∮_S '''D''' ⋅ d'''S''' = ∫_V ρ dV = Q

D	전속밀도
ρ	전하밀도
Q	적분 영역 V 내부에 있는 전하의 총합
dS	면적소벡터
V	부피

이 식은 어떤 영역 내에 전하가 존재하면 그 영역에서 전하와 같은 크기의 전속이라는 물리량이 출입한다는 것을 보여준다.

6. 적용 예시

가우스 법칙은 대칭성을 띠는 전하 분포에 대해 전기장을 쉽게 계산할 수 있게 해준다. 대표적인 예시는 다음과 같다.^[7]

도체 표면: $E = { \sigma \over \epsilon_0 }$ (σ는 단위면적당 전하량)
균일하게 대전된 무한 직선 도선: $E = { \lambda \over 2 \pi \epsilon_0 r }$ (λ는 단위길이당 전하량, r은 가우스 표면까지의 거리)
균일하게 대전된 무한 평면: $E = { \sigma \over 2 \epsilon_0 }$ (σ는 단위면적당 전하량)
균일하게 대전된 구 껍질:
r≥R (구 외부)일 때, $E = {1 \over 4 \pi \epsilon_0} {q \over r^2}$
r E=0
꽉 찬 구: r≤R (구 내부)일 때, $E = ({q \over 4 \pi \epsilon_0 R^3 })r$

임의의 폐곡면을 통과하는 전기선속은 그 곡면으로 둘러싸인 총 전하량에 비례한다.

6. 1. 균일하게 대전된 무한 평면

가우스 법칙을 이용하면 균일하게 대전된 무한 평면 주위의 전기장은 평면에 수직이고, 그 크기는 면 전하 밀도에 비례하며, 평면으로부터의 거리에 무관하다는 것을 알 수 있다. 면 전하 밀도의 경우 전기장 공식은 다음과 같다.

:

E = { \sigma \over 2 \epsilon_0 }

(면)

6. 2. 균일하게 대전된 구 껍질

가우스 법칙에 따르면, 균일하게 대전된 구 껍질 외부의 전기장은 구 껍질 중심에 모든 전하가 집중된 점전하의 전기장과 같다. 구 껍질 내부의 전기장은 0이다.

구 껍질에서 r≥R (구의 표면)인 경우 전기장 E는 다음과 같다.

:

E = {1 \over 4 \pi \epsilon_0} {q \over r^2}

구 껍질에서 r
:

E=0

6. 3. 균일하게 대전된 무한 직선 도선

가우스 법칙을 이용하면, 균일하게 대전된 무한 직선 도선 주위의 전기장은 도선에 수직이고, 그 크기는 선 전하 밀도에 비례하며, 도선으로부터의 거리에 반비례한다는 것을 알 수 있다. 도선에서 단위길이당 전하량이 λ(람다)이고, 가우스 곡면까지의 거리가 r일 때, 전기장 E는 다음과 같다.^[7]

:

E = { \lambda \over 2 \pi \epsilon_0 r }

6. 4. 도체 표면

도체 표면에서의 전기장은 가우스 법칙을 응용하여 구할 수 있다. 도체 표면 근처에 작은 가우스 상자를 생각할 수 있다. 이 상자는 도체 표면에 수직인 면을 가지고 있다. 라플라스 방정식을 풀어 전위를 구하고, 전위의 기울기를 통해 전기장을 계산한다. 가우스 법칙에 따르면, 이 상자를 통과하는 전기 선속은 상자 안의 전하량과 관련이 있다. 도체 내부의 전기장은 0이고, 전기장은 국소적으로 도체의 등전위면에 수직이므로, 가우스 법칙을 이용하면 표면 전하 밀도 σ와 전기장 E 사이의 관계를 다음과 같이 얻을 수 있다.^[7]

:

E = { \sigma \over \epsilon_0 }

여기서 σ는 단위 면적당 전하량이고, ε₀는 진공 유전율이다.

6. 5. 꽉찬 구

E = \left( \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 R^3} \right) r

(꽉 찬 구에서, r≤R인 구의 단위면적당 전하)

참조

_[1] 서적 Leçons sur l'électricité et le magnétisme Paris Gauthier-Villars 1891
_[2] 학술지 Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques https://books.google[...] Gauthier-Villars 1869
_[3] 서적 Carl Friedrich Gauss Werke https://books.google[...] Gedruckt in der Dieterichschen Universitätsdruckerei (W.F. Kaestner) 1877
_[4] 문서 The other three of Maxwell's equations are: Gauss's law for magnetism, Faraday's law of induction, and Ampère's law with Maxwell's correction
_[5] 서적 Fundamentals of Physics John Wiley & Sons
_[6] 서적 Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics
_[7] 서적 Electromagnetism John Wiley & Sons
_[8] 서적 Vector Calculus Springer
_[9] 학술지 On the Covariant Representation of Integral Equations of the Electromagnetic Field https://rdcu.be/ccV9[...]
_[10] 서적 Introduction to Electrodynamics Prentice Hall
_[10] 서적 Classical Electrodynamics John Wiley & Sons
_[11] 서적 学術用語集物理学編培風館
_[12] 서적 https://archive.org/[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com